تاپيك جامع معما

[درودبرايران]

سالها میشه که روی مسائل هندسه فکر نکردم. ولی بالاخره نمیشه که برای همیشه!
شکل زیر رو در نظر بگیرید:

[External Link Removed for Guests]

توی این شکل از A و B به نقاط تلاقی نیمساز مشترک وصل شده و از C موازی ایندو خطی برای قطع کردن PQ وصل شده. واضحه که AN و BM بر PQ عمودن پس CR هم بر PQ عموده (دیگه چیزای بدیهی و نیمه بدیهی رو توضیح نمی دم). تمام نیاز ما برای حل این مساله پیدا کردن طول CR هست که چندان سخت نیست.
NS موازی با AB وصل شده و بدین ترتیب طولهای AN و CT و BS باهم برابر و مساوی 1 هستن. این یعنی S وسط BM هست و SM هم 1 خواهد بود. موازی بودن NS با AB نتیجۀ دیگری هم داره و اون اینکه AC با NT و AB با NS برابر هستن. البته مقادیر AC و AB مشخص و برابر 2 و 3 هستن.
حالا طبق قضیه ای که اسمشو یادم نیست (!) میشه گفت نسبت NT به NS برابر با نسبت RT به MS هست که این یعنی نسبت RT به MS برابر هست با 3/2 (دو سوم) و چون MS یک بود پس RT برابر 3/2 خواهد بود.
بدین ترتیب CR میشه مجموع 1 و 3/2 یعنی 3/5 (پنج سوم). با داشتن CR طول PQ راحت بدست میاد. کافیه دقت کنیم که RQ با استفاده از فیثاغورث و با داشتن CR و CQ که (هر دو رو داریم) بدست میاد. PQ هم که دو برابر RQ هست...
نتیجۀ نهایی : PQ=2/3*sqrt(59

[pejman]

واقعا سرعت عمل شما خیلی خوبه من خودم خیلی طول کشید که جوابو پیدا کردم

[درودبرايران]

اي بابا
يک احتمال اينکه حل زياد طول بکشه رفتن سراغ راههاي ديگست. من اولش زاويۀ PQ با EF رو حساب کردم و بر اون اساس مي خواستم طولشو بدست بيارم ولي بعد چون مي دونستم زيادي طولاني ميشه اين راهو امتحان کردم.

حالا در مورد معماي ساعتي که من مطرح کردم. کسي روش فکر نکرد؟ جوابشو بذارم؟ سؤال جالبيه ها

[درودبرايران]

يه معماي باحال (و البته سخت!):
فرض کنين توي يه زندون گير کردين که سه تا در داره. مي دونين دو در به مرگ و يکي به آزادي شما ختم ميشه. يک نگهبان که از وضعيت درها مطلعه و از شما هم خوشش نمياد و نميخواد آزاد بشين اونجا هست! حالا فرض کنين شما يک در رو شانسي انتخاب مي کنين. بعد نگهبانه براي اينکه به شما لطفي کرده باشه يک در ديگه رو انتخاب مي کنه و باز ميکنه. شما ميبينين که اون در مرگ بود! بعد نگهبان از شما ميپرسه آيا ميخواي دري که انتخاب کردي رو عوض کني؟ شما چي ميگي؟ يعني آيا بنفع شماست که عوض کنين يا نه؟ يا فرقي نميکنه؟

[pejman]

اگر نگهبان دری رو که انتخاب کردین باز کنه اون وقت حتما فرق میکنه ولی اگر در دیگه ای رو باز کنه به نظر نباید فرقی بکنه

[درودبرايران]

نگهبان در ديگه يي رو انتخاب کرده. همونطور که توي متن هم گفتم... در ضمن اگه در شما رو انتخاب کنه و مرگ باشه معلومه بايد عوض کنين
جواب اين معما رو نميدم تا بقيۀ کسايي که علاقه به معما دارن روش فکر کنن...

[درودبرايران]

پس چي شد؟ يه نفر توي کل اين سايت حوصلۀ فکر کردن به معما داره؟

[Galadriel]

چه زندانیه که سه تا در داره؟
من در رو عوض نمی کنم، چون می دونم که زندانبانه از من خوشش نمیاد و نمی خواد که آزاد بشم و عکس العملی که ازش دیدم اینه که یکی از درهای مرگ رو برای من باز کرده یعنی داره اعتماد من رو جلب می کنه، تا بهش اعتماد کنم و به حرفش گوش بدم اما چون می دونم که منو دوست نداره و نمی خواد سر به تنم باشه، از اینجاست که حدس می زنم که در درست رو انتخاب کردم و درم رو عوض نمی کنم چون اگه در غلط رو انتخاب کرده بودم یارو خودشو انقدر به تکاپو نمی انداخت تا اعتماد منو جلب کنه

[درودبرايران]

از کجا معلوم نگهبانه باهوش نباشه و اين فکر شما رو ندونه. در اينصورت ضد اين استراتژي رو بکار ميگيره و در حاليکه ميدونه در آزادي اوني نيست که شما انتخاب کردين به شما حق تعويض ميده. در واقع اينکه شما نميدونين اون بالاخره چه تصميمي در اين مورد ميگيره مسئله رو بازم بهم ميريزه...

[درودبرايران]

مثل اینکه باید جواب دو معمایی که مطرح کردم و هنوز حل نشدن رو بدم!
معمای زندان سه دره:
به نفع شماست که در رو عوض کنید! در واقع می شه نشون داد احتمال آزاد شدن شما با در فعلی فقط 3/1 یا 334/33% هست و در صورت پذیرفتن پیشنهاد نگهبان و تعویض در شما به احتمال 3/2 یا 667/66% آزاد میشین. من ترجیح میدم دلیل این جواب رو نگم تا اگه کسی دوست داشت روش فکر کنه. خیال نکنین آسونه حتی با دونستن جواب کار سختیه که نشونش بدین...

معمای عقربه های ساعت:
بنظر میرسه این معما بیش از حد حوصله میخواد و ساکنین این جمع مجازی موفق به پیدا کردن این حوصله نشدن. بهرحال من حلی که خودم از این معما انجام دادم رو میذارم...

اولین قدم برای حل این مساله مدل کردن صحیح اون بصورت ریاضیست. در واقع میخوایم بدونیم "ساعت منطقی" چگونه بیانی بصورت ریاضی داره. برای اینکار باید دقت کنیم که "ساعت منطقی" به این معنیست که موقعیت عقربۀ دقیقه شمار دلخواه نیست و توسط عقربۀ ساعتشمار تعریف میشه. مثلاً اگه عقربۀ ساعتشمار در میانۀ دو رقم 2 و 3 باشه عقربۀ دقیقه شمار به ناچار باید روی 30 باشه.
برای مدل کردن این رفتار ابتدا محیط دایره ای که عقربه ها طی می کنن رو به 360 درجه تقسیم می کنیم. بعد عنوان می کنیم که اگه عقربۀ ساعتشمار در درصدی از راه 30 درجه ای خودش (بین هر دو ساعت متوالی 30 درجه است) باشه عقربۀ دقیقه شمار در همون درصد از مساقت 360 درجه ای خود قرار داره. معادلۀ زیر نشون دهندۀ این ایده هست:

x = 30k + 30(y/360) = 30k + y/12 ==> y = 12(x-30k) ; 30k <= x < 30(k+1) ; k = 0,1,2,...,11

توی این معادله x زاویۀ طی شده توسط عقربۀ ساعتشمار و y توسط دقیقه شمار هستن. k هم ساعت رو نشون میده (مثلاً در ساعت 5 تا 6 (شمال خود 5 ولی بدون خود 6) مقدار این ضریب 5 هست.)
با یکی دو مثال این معادله رو روشن می کنم. مثلاً ساعت 4 و 20 دقیقه رو در نظر بگیرید. در اینصورت k=4 و y=120 درجه هستن. با این احتساب زاویۀ عقربۀ ساعتشمار x=130 درجه خواهد بود. اگه y رو بر حسب x با درنظر گرفتن تمام مقادیر ممکن k رسم کنیم دیاگرام زیر که توی فلش کشیدم بدست میاد:

[External Link Removed for Guests]

همونطور که این دیاگرام نشون میده، عقربۀ ساعتشمار از 0 تا 360 درجه تغییر میکنه و در این حین عقربۀ دقیقه شمار مدام تا 360 میره و بعد بر میگرده. این همون چیزیه که واقعاً اتفاق می افته...
حالا که معادلۀ توصیفگر یک ساعت منطقی رو داریم بحث تعویض عقربه ها رو روش اعمال میکنیم. اگه بخوایم با تعویض عقربه ها باز هم ساعت منطقی داشته باشیم، باید وقتی جای x رو با y عوض می کنیم بازهم معادلۀ بالا درست باشه منتها اینبار با یک k دیگه. دلیلش اینه که درسته با تعویض عقربه ها ساعت منطقی باید بدست بیاد ولی خود زمان بدست اومده میتونه هر چیزی باشه.
بدین ترتیب 2 معادلۀ زیر باید همزمان حل بشن:

y = 12(x-30k) ; 30k <= x < 30(k+1) ; k = 0,1,2,...,11
x = 12(y-30r) ; 30r <= y < 30(r+1) ; r = 0,1,2,...,11

تا x و y هایی که شروط مسئله رو ارضا می کنن بدست بیان. برای حل این دستگاه از دیاگرام زیر کمک میگیریم که دو معادله رو روی هم رسم کرده:

[External Link Removed for Guests]

تقاطع هر یک از خطوط مربوط به معادلۀ اول با هریک از خطوط مربوط به معادلۀ دوم یک جواب مسئله هست! بعنوان مثال اگه k=2 قرار بدیم و r=3 جوابی رو که توی شکل با نقطۀ قرمز نشون دادم خواهیم داشت. این نقطه متناظر هست با:

x = 67.972 deg
y = 95.664 deg

که اگه روی یک ساعت واقعی امتحان کنید (بصورت تقریبی) میبینید که منطقیه.

-------------

حل در اینجا کامل میشه. امیدوارم براتون جالب بوده باشه. برای من که خیلی بوده و هست. بهرحال من توی این سایت متهم به پول گرفتن از اجنبی برای تبلیغات علیه نظام شدم و امیدوارم زبون ریاضی که سیاست توش نیست رو مشکوک و اختراع بیگاه ندونن.

[anjaza]

ببخشيد من تازه واردم چرا ديگه کسي معما مطرح نمي کنه؟؟

[درودبرايران]

شما ميتوني روي معماي زندان سه در فکر کني.
البته من جوابشو گفتم ولي توضيح ندادم. اينجوري مثل اين ميمونه که راهنمايي کردم! شما ميتوني براش توضيحي پيدا کني؟