سرعت انتشار شايعه !

[grimi]

سرعت انتشار شايعه !

شگفتی آور است که خبر و شایعه با چه سرعتی در شهرمنتشر می شود!گاهی از زمانی که تنها چند نفر از یک خبر اطلاع داشته اند حتی دو ساعتهم نمی گذرد که دیگر تمام شهر از آن مطلع شده اند همه آن را شنیده اند.
سرعتغیر عادی این انتشار عجیب به نظر می رسد مثل یک معما. ولی اگر وارد محاسبه شویمروشن می شود که هیچ معمایی در این جا وجود ندارد همه چیز مربوط به ویژگی های عدداست و هیچ جنبه ی رمز آمیزی در خود شایعه خبر وجود ندارد.
ساعت ۸صبح ، یکی ازاهالی پایتخت به یک شهر ۵۰ هزار نفری وارد می شود او حامل یک خبر جدید است در منزلیکه او وارد می شود فقط سه نفر از مردم شهر ساکن هستند و او این خبر را برای آن هابازگو می کند فرض می کنیم این کار یک ربع ساعت طول بکشد.
به این ترتیب در ساعتهشت و ربع صبح ۴ نفر از مردم شهر از خبر جدید آگاه شده اند یکی مسافر و سه نفر همساکنانمنزل.
هر یک از سه نفری که خبر جدید را شنیده اند به نوبه ی خود برای سهنفر دیگر از هم شهری هایشان بازگو می کنند و این هم یک ربع ساعت طول می کشدبنابراین نیم ساعت بعد از ورود خبر جدید به شهر تعداد ۱۳=(۳×۳)+۴ نفر از آن اطلاعدارند.
هر یک از این ۹ نفری که تازه از خبر اطلاع پیدا کرده اند در یک ربع ساعتبعد ، با سه نفر دیگر از هم شهری هایشان صحبت می کنند و به این ترتیب در ساعت هشت وسه ربع صبح تعداد کسانی که از این خبر با اطلاع اند چنین است۴۰)=۹×۳+(۱۳اگر انتشار خبر را به همین طریق دنبال کنیم یعنی فرد جدیدی که خبر را می شنوددر عرض یک ربع ساعت به سه نفر دیگر اطلاع دهد تعداد افرادی از شهر که در ساعت هایمختلف خبر را شنیده اند به ترتیب زیر خواهد بود:
نفر۱۲۱=(۲۷×۳)+۴۰ در ساعت ۹صبحنفر۳۶۴ =(۸۱×۳)+۱۲۱در ساعت ۹ و ربعنفر۱۰۹۳=(۲۴۳×۳)+۳۶۴در ساعت ۹ و نیم
همان طور که می بینیم بعد از گذشت یک ساعت و نیم از آغاز پخش خبر تنها نزدیک۱۱۰۰نفر از اهالی آن را شنیده اند و این در مقابل جمعیت ۵۰ هزار نفری شهر رقم جالبتوجهی نیست ممکن است این طور به نظر برسد که به این زودی ها همه ی مردم شهر با خبراز جریان نخواهند شد ولی به همین ترتیب انتشار خبر را دنبال می کنیم:
نفر۳۲۸۰=(۷۲۹×۳)+۱۰۹۳در ساعت ۹ و چهل و پنج دقیقهنفر۹۸۴۱=(۲۱۸۷×۳)+۳۲۸۰درساعت ۱۰صبح
و بعد از یک ربع ساعت دیگر بیشتر از نصف مردم شهراز خبر جدید آگاهشده اند:
۲۹۵۲۴)=۶۵۶۱×۳+(۹۸۴۱
و این به معنای آن است که در حدود ساعت ده ونیم دیگر همه ی مردم شهر بزرگ ، خبری را که ساعت ۸ صبح تنها یک نفر از آن با اطلاعبود می دانند.
حالا ببینیم محاسبه ی گذشته را چگونه انجام دادیم . در حقیقتعددهای زیر را با هم جمع کردیم:

….+(۳×۳×۳×۳)+(۳×۳×۳)+(۳×۳)+۳+۱
آیا نمیتوان این مجموع را مثل مجموع عدد های ….+۸+۴+۲+۱به روش ساده ای معین کرد؟به شرطی کهویژگی این عددها را به شکلی که در زیر مشخص کرده ایم در نظر بگیریم می توان روشمحاسبه ی ساده را پیدا کرد:
۱=۱۱+۲×۱=۳۱+۲×(۳+۱)=۹۱+۲×(۹+۳+۱)=۲۷۱+۲×(۲۷+۹+۳+۱)=۸۱
به زبان دیگر هر عدد از این رشتهاعداد برابر است با دو برابر مجموع تمام عدد های قبلی به اضافه ی یک .
از اینجا نتیجه می شود که اگر بخواهیم مجموع همه ی عددهای این رشته را تا هر عدد دلخواهبه دست آوریم کافی است به این عدد نصف خودش را اضافه کنیم (به شرطی که قبلا یک واحداز آن کم کرده باشیم(
مثلا مجموع عددهای ۷۲۹+۲۴۳+۸۱+۲۷+۹+۳+۱برابر است با مجموع۷۲۹با نصف ۷۲۸ یعنی۱۰۹۳=۳۶۴+۷۲۹
در مثالی که آوردیم هر کسی که از خبرجدید آگاهی پیدا می کرد آن را تنها با سه نفر از هم شهری های خود در میان می گذاشتولی اگر ساکنین را پر حرف تر فرض کنیم به طوری که هر یک از آن ها به جای سه نفر با۵نفر یا حتی ۱۰ نفر دیگر از خبر جدید صحبت می کرد البته شایعه با سرعت بسیاربیشتری پراکنده می شد.
اگر فرض را بر این بگیریم که هر نفر با ۵ نفر دیگر شایعهرا در میان بگذارد وضع پخش خبر بین اهالی شهر در ساعت های مختلف خواهد بود:
نفر۱=در ساعت ۸ صبحنفر۶=۵+۱در ساعت ۸:۱۵نفر۳۱=(۵×۵)+۶در ساعت ۸:۳۰نفر ۱۵۶=(۵×۲۵)+۳۱در ساعت ۸:۴۵نفر۷۸۱=(۵×۱۲۵)+۱۵۶در ساعت ۹نفر۳۹۰۶=(۵×۶۲۵)+۷۸۱در ساعت ۹:۱۵نفر ۱۹۵۳=(۵×۳۱۵)+۳۹۰۶در ساعت ۹:۳۰
وقبل از این که ساعت به ۹:۴۵ برسد همه ی اهالی شهر از خبر جدید اطلاع داشتند.البتهاگر هر کسی خبر جدیدی را که می شنود با ۱۰ نفر در میان بگذارد شایعه با سرعت باز همبیشتری پخش خواهد شد در این حالت یک اتفاق جالبی هم برای اعداد می افتد

نفر۱=درساعت ۸ صبحنفر۱۱=۱۰+۱در ساعت ۸:۱۵نفر۱۱۱=۱۰۰+۱۱در ساعت ۸:۳۰نفر۱۱۱۱=۱۰۰۰+۱۱۱در ساعت ۸:۴۵نفر۱۱۱۱۱=۱۰۰۰۰+۱۱۱۱در ساعت ۹ صبح
روشناست که عدد بعدی این رشته اعداد، ۱۱۱۱۱۱می باشد و این به معنای آن است که در آستانهی شروع ساعت ۱۰ صبح همه ی اهالی شهر از خبر جدید اطلاع خواهند داشت و شایعه در طولنزدیک یک ساعت همه جا را فرا می گیرد